Із глибини віків до наших днів

              Числові послідовності – явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих ІІ тисячоліттям до н.е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж століть людей приваблювала внутрішня гармонія і краса числових рядів. Давайте помандруємо з вами у глибину віків, зокрема у Стародавній Єгипет та Італію.

            Вивчаючи питання, ми дізналися, що термін «прогресія» запровадив римський вчений Боецій (VІ ст.. ), від лат. « рух уперед» .                                                           

Папірус Рінда

           

 Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда. Звучить вона приблизно таким чином: 100 мір хліба потрібно розділити між пятьма чоловіками таким чином, щоб другий отримав на стільки ж більше ніж перший, на скільки третій отримав більше другого, четвертий більше третього і п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших мають отримати в 7 разів меньше трьох інших. Скількі потрібно дати кожному?

Розв'язування:  Очевидно, що кількість хліба, отриманого чоловіками, являє собою зростаючу арифметичну прогресію. Де перший її член х, а різниця y. Тоді отримаємо: доля першого  х, доля другого  х + у, доля третього х + 2y,

 доля четвертого х + 3y, доля п'ятого  х + 4y.

Отримаємо систему рівнянь і після її розв'язування отримаємо відповідь.

       Ось іще одна дуже відома задача з того ж папірусу:  «У семи людей по сім кицьок; кожна кицька з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоска може вирости по сім мір ячменю. На  скільки великі числа цього ряду та їх сума?»

       Ця ж задача багато разів з різними варіаціями повторювалась і у інших народів в інші часи. Наприклад, у книзі XIII ст. «Книга абакa» Леонардо Пізанського(Фібоначчи) є задача, в якій фігурують 7 старух, що направились до Риму (імовірно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, і в кожному з яких по 7 хлібів, в кожному з яких по 7 ножів, і кожен з яких в 7 ножнах. В задачі питають, скільки всього предметів.

Дослідники стверджують, давні вавілоняни також добре були знайомі з обома прогресіями.

 Безумовно найвідомішою із старовинних задач на прогресії безумовно є легенда про винайдення шахів. Астрономічна  сума, яку згідно домовленості мали видати у нагороду старцю просто приголомшує Ця задача яскраво представляє характер геометричної послідовності.

Наступний вчений, що вніс величезний вклад у вчення про прогресії є Архімед. В творі «Квадратура параболи»  Архімед довів, що площа сегмента параболи, що відскається від неї прямою, складає 4/3 від площі, вписаного в цей сегмент трикутника. Для доведення Архімед підрахував сумму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1/4.

 Також відома цікава легенда про дитинство Карла Фрідріха Гауса.Згідно з цією легендою, шкільний вчитель математики, щоб завантажити дітей на тривалий час, запропонував їм підрахувати суму чисел від 1 до 100. Маленький Гаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1+100=101, 2+99=101 і т. д., і миттєво отримав результат: 50*101=5050.

Арифметика Магницкого

Багато задач на прогресії можна знайти в першій російській математичній енциклопедії "Арифметика" написаної Леонтієм Магніцьким.  Прогресєю він називав таки йчисловий ряд, в якому числа збільшуються або зменшуються  за певним законом.

Ось ще одна цікава розпоповідь у книзі Якова Перельмана «Жива математика», а він у свою чергу зазаначає. що розповідь запозичена із старовинного латинського рукопису, що належить одній з приватних колекцій Англії. Цю задачу можна справедливо назвати " "Щедра" винагорода".

Теренцій був відомим воєначальником в Римі. Багато років він віддано служив імператору і здобув багато перемог. Після чергової перемоги імператор рообіцяв нагородити Теренція . Теренцій попросив імператора забезпечити його старість певним статком. Та на жаль, імператор не відзначався щедрістю і прохання Теренція про 1 міліон дінарієв примусила його сильно замислитись. Коли на наступний день Тетренцій прийшов за винагородою імператор запропонував йому замість «незначної» нагороди справжнє багатство: «Першого дня ти зайдеш до моєї казни і тримаєш монету в 1 брас (п'ята частина дінарія) , другого дня ти отримаєш монету в 2 раси , потім – 4, 8 і тд,, їх будуть щоденно виготовляти для тебе. Ти будеш отримувати їх доти доки зможеш їх винести без сторонньої допомоги. Таким чином, все що ти зможеш винести буде тобі нагородою.Теренцій залишився дуже задоволений пропозицією царя. Так почались щоденні ходіння Теренція до монетного двору. Першого дня він виніс монету в 1 брас, вага якої 5 г, і її діаметр всього лише 21мм. Дуже легкими були також його походи 2-го, 3-го, 4-го, 5-го, і 6-го днів. 7-мА монета важила—320 г і мала діаметр 84мм. Але вже 13-та монета важила 20.5 кг і в діаметрі мала 34мм. Щоб спростити хід подальших дій просто наведемо в таблиці розрахунки наступних днів. З неї зрозуміло, що 18-й день став останнім і дійсно:  винагорода воїна становила лише 262 143 браси замість 5 000 000 брасів. Що майже в 19 разів менше ніж він просив. Тільки тепер Теренцій зрозумів дійсну щедрість імператора. Бідний Теренцій такого б не сталося якби він знав, що таке геометрична прогресія!

     

     Піфагор та його учні виділяли з натурального ряду чисел послідовності трикутних, п’ятикутних квадратних чисел та встановили багато цікавих залежностей.

    Італійський купець  і  мандрівник , син  міського писаря , Леонардо із Пізи (1180-1240р.), більш відомий  під прізвищем Фібоначчі ,був одним із  найвідоміших  математиків середньовіччя. Роль його книг  у розвитку  математики  і  поширенню  у  Європі математичних  знань  важко переоцінити. Життя  і  наукова кар’єра Леонардо тісно  пов’язані  з розвитком  європейської  культури і науки.  При розв’язуванні однієї  задачі про можливість кількості народження кроликів від однієї  пари через рік, він одержав  ряд чисел:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Особливістю цієї послідовності чисел є те, що кожний її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення  сусідніх чисел ряду наближається  до відношення золотого перерізу, який дуже  хвилював голови того часу.

Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618

Висновки

Можна стверджувати, що наша гіпотеза підтвердилась і дійсно як давно відома людям арифметична прогресія навіть визначити не можна, оскільки натуральний ряд чисел це те, з чого починався розвиток математики. Про геометричну прогресію можна сказати, що вона відома щонайменше з 1650 до н. э (рік яким датується Папірус Ахмеса). Підтвердилось припущення, що даною темою цікавились і багато відомих вчених і користувались популярністю дотепні повчальні задачі.